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 आइगन मानों और आइगन फलनों को उदाहरण सहित समझाइए

तरंग फलन की परिभाषा दीजिए? मुक्त कण के लिए श्रोडिंगर का तरंग समीकरण लिखिए

एक विमीय विभव कूप व प्राचीर और सीमांत शर्ते समझाइए

हाइजनवर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत व उदाहरण समझाइए

 

1. मोसले का नियम लिखिए।

Ans.  

मोसले का नियम:

मोसले का नियम, जिसे वर्गमूल नियम भी कहा जाता है, परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित एक्स-रे की आवृत्ति और परमाणु क्रमांक के बीच संबंध स्थापित करता है। यह नियम 1913 में हेनरी मोसले द्वारा प्रतिपादित किया गया था।

नियम का कथन:

"किसी परमाणु द्वारा उत्सर्जित एक्स-रे की आवृत्ति (ν) का वर्गमूल (√ν) उस परमाणु के परमाणु क्रमांक (Z) के समानुपाती होता है।"

गणितीय रूप से:

√ν = c * Z

जहाँ:

• √ν = एक्स-रे की आवृत्ति का वर्गमूल
• c = एक स्थिरांक (मोसले स्थिरांक)
• Z = परमाणु क्रमांक

2. गाइगर- नटल नियम लिखिए

Ans.  

गाइगर-नटल नियम:

परमाणु भौतिकी में, गाइगर-नटल नियम, जिसे न्यूटॉल का नियम भी कहा जाता है, रेडियोधर्मी आइसोटोप के क्षय स्थिरांक को उत्सर्जित अल्फा कणों की ऊर्जा से जोड़ता है। यह नियम 1911 में हंस गाइगर और जॉन न्यूटॉल द्वारा प्रतिपादित किया गया था।

नियम का कथन:

"अल्पकालिक रेडियोधर्मी आइसोटोप, लंबे समय तक जीवित रहने वाले आइसोटोप की तुलना में अधिक ऊर्जावान अल्फा कणों का उत्सर्जन करते हैं।"

गणितीय रूप से:

log λ = a + b√E

जहाँ:

• λ = क्षय स्थिरांक
• a और b = स्थिरांक
• E = उत्सर्जित अल्फा कणों की ऊर्जा

गाइगर-नटल नियम का महत्व:

• अल्फा क्षय की प्रक्रिया को समझने में मदद करता है: 
• रेडियोधर्मी समस्थानिकों की स्थिरता का अनुमान लगाने में मदद करता है: 
• नए रेडियोधर्मी समस्थानिकों की खोज में मदद करता है: 

3. गाइगर मूलर गणक को समझाइए ।

Ans.

            

गाइगर-मूलर गणक:

गाइगर-मूलर गणक (GMC), जिसे गाइगर काउंटर या GM काउंटर भी कहा जाता है, एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण है जो आयनकारी विकिरण का पता लगाता है और मापता है। यह उपकरण अल्फा कणों, बीटा कणों और गामा किरणों का पता लगाने के लिए उपयोग किया जाता है।

विशेषताएं:

• उच्च दक्षता: GMC अत्यधिक कुशल उपकरण हैं जो थोड़ी मात्रा में विकिरण का भी पता लगा सकते हैं।
• त्वरित प्रतिक्रिया: GMC त्वरित प्रतिक्रिया देते हैं, जिससे उन्हें तेजी से बदलते विकिरण स्तरों को मापने के लिए उपयुक्त बनाया जाता है।

उपयोग:

• रेडियोधर्मिता का पता लगाना: GMC का उपयोग पर्यावरण में रेडियोधर्मिता के स्तर को मापने के लिए किया जाता है।

• चिकित्सा: GMC का उपयोग विकिरण चिकित्सा और नैदानिक ​​उद्देश्यों के लिए किया जाता है।

4.  क्रिस्टलीय तथा अक्रिस्टलीय ठोसों में अंतर स्पष्ट कीजिए

Ans.  

क्रिस्टलीय और अक्रिस्टलीय ठोसों में अंतर:

विशेषता	क्रिस्टलीय ठोस	अक्रिस्टलीय ठोस
परमाणुओं की व्यवस्था	नियमित जालक संरचना	अनियमित संरचना
उदाहरण	नमक, चीनी, हीरा, लोहा	कांच, प्लास्टिक, रबर, मोम
गलनांक	निश्चित	अनिश्चित
कठोरता	कठोर और भंगुर	नरम और लचीले
दिशात्मक गुण	दिशात्मक	अदिशात्मक
चमक	चमकदार हो सकते हैं	पारदर्शी, अपारदर्शी या अपारदर्शी
उपयोग	निर्माण, इलेक्ट्रॉनिक्स, गहने	पैकेजिंग, कपड़े, उपकरण

5. X - किरण विवर्तन का लाउए समीकरण व्युत्पन्न कीजिए

Ans.    

X-किरण विवर्तन का लाउए समीकरण:

व्युत्पत्ति:

लाउए समीकरण, X-किरण विवर्तन के लिए एक महत्वपूर्ण संबंध है, जो क्रिस्टल जालक में X-किरणों के विवर्तन के कोण (θ) को क्रिस्टल जालक के समतल spacings (d) और X-किरणों के तरंगदैर्ध्य (λ) से जोड़ता है।

यह समीकरण वॉन लाउए द्वारा 1916 में प्रतिपादित किया गया था।

व्युत्पत्ति के चरण:

1. ब्रेग का नियम:

• X-किरण विवर्तन के लिए, ब्रेग का नियम कहता है कि विवर्तित किरणें केवल तभी उत्पन्न होती हैं जब पड़ोसी परमाणुओं से परावर्तित किरणों के बीच का पथ अंतर एक पूर्णांक गुणक (n) होता है (λ)।
• गणितीय रूप से: 2d * sin(θ) = nλ

2. क्रिस्टल जालक में समतलों के बीच की दूरी (d):

• क्रिस्टल जालक में, विभिन्न समतलों के बीच की दूरी (d) Miller indices (hkl) द्वारा निर्धारित होती है।
• d = a / √(h^2 + k^2 + l^2)
• जहाँ a: क्रिस्टल जालक का जाली स्थिरांक है।

3. लाउए समीकरण:

• ब्रेग के नियम और समतल spacings के सूत्र को मिलाकर, लाउए समीकरण प्राप्त होता है:

nλ = a * √(h^2 + k^2 + l^2) * sin(θ)

यह समीकरण X-किरण विवर्तन के लिए मौलिक संबंध है।

6.   हाइजनवर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत व उदाहरण समझाइए

Ans.  

हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत:

परिभाषा:

हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी में एक मौलिक सिद्धांत है, जो एक ही समय में किसी सूक्ष्म कण की स्थिति और गति को सटीक रूप से मापने की असंभवता को दर्शाता है।

सूत्र:

यह सिद्धांत गणितीय रूप से निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

Δx * Δp ≥ ħ/2π

जहाँ:

• Δx = स्थिति में अनिश्चितता
• Δp = गति में अनिश्चितता
• ħ = कम किया हुआ प्लैंक स्थिरांक (h/2π)

अर्थ:

इस सूत्र का मतलब है कि:

• यदि हम किसी कण की स्थिति को बहुत सटीक रूप से मापते हैं (Δx छोटा), तो उसकी गति बहुत अनिश्चित होगी (Δp बड़ा)।
• यदि हम किसी कण की गति को बहुत सटीक रूप से मापते हैं (Δp छोटा), तो उसकी स्थिति बहुत अनिश्चित होगी (Δx बड़ा)।

उदाहरण:

1. इलेक्ट्रॉन: यदि हम किसी इलेक्ट्रॉन की स्थिति को एक छोटे से बॉक्स तक सीमित करते हैं, तो उसकी गति बहुत अनिश्चित हो जाएगी। इसका मतलब है कि हम यह नहीं जान सकते कि वह बॉक्स के अंदर कहाँ है।
2. फोटॉन: यदि हम किसी फोटॉन की गति को निश्चित दिशा में मापते हैं, तो उसकी स्थिति बहुत अनिश्चित हो जाएगी। इसका मतलब है कि हम यह नहीं जान सकते कि वह कहाँ से आ रहा है या कहाँ जा रहा है।

7. एक विमीय विभव कूप व प्राचीर और सीमांत शर्ते समझाइए

Ans.  

एक विमीय विभव कूप:

एक विमीय विभव कूप (1D potential well) एक क्षेत्र है जहाँ संभावित ऊर्जा एक निश्चित मूल्य (V0) से कम होती है।

प्रकार:

• सीमित: यदि विभव कूप के दोनों छोर पर संभावित ऊर्जा V0 से अधिक होती है, तो इसे सीमित विभव कूप कहा जाता है।
• असीमित: यदि विभव कूप का कम से कम एक छोर V0 से कम या बराबर होता है, तो इसे असीमित विभव कूप कहा जाता है।

प्राचीर:

एक प्राचीर (wall) एक सीमित विभव कूप का एक विशेष प्रकार है, जहाँ संभावित ऊर्जा V0 से बहुत अधिक होती है।

सीमांत शर्ते:

सीमांत शर्ते, भौतिक प्रणालियों का वर्णन करने वाले गणितीय समीकरणों के लिए अतिरिक्त जानकारी प्रदान करती हैं।

एक विमीय विभव कूप के लिए सामान्य सीमांत शर्ते:

1. स्थिति:

   • x = 0 और x = L पर, ψ(x) = 0 (जहाँ L: कूप की चौड़ाई)
   • इसका मतलब है कि कण कूप के बाहर नहीं हो सकता।

2. गति:

   • p(x) = ℏk (जहाँ p: गति, ℏ: कम किया हुआ प्लैंक स्थिरांक, k: तरंग संख्या)
   • इसका मतलब है कि कण का तरंग फलन कूप के अंदर एक निश्चित तरंग संख्या के साथ होता है।

8.  तरंग फलन की परिभाषा दीजिए? मुक्त कण के लिए श्रोडिंगर का तरंग समीकरण लिखिए

Ans.  

तरंग फलन (Wave Function):

क्वांटम यांत्रिकी में, तरंग फलन (ψ) एक जटिल संख्यात्मक फलन होता है जो स्थान (x, y, z) और समय (t) के साथ संभाव्यता घनत्व (ρ) को दर्शाता है कि कण किसी विशेष स्थिति में पाया जाएगा।

मुक्त कण के लिए श्रोडिंगर का तरंग समीकरण:

श्रोडिंगर का तरंग समीकरण, क्वांटम यांत्रिकी में एक मौलिक समीकरण है जो तरंग फलन और कण की कुल ऊर्जा (E) के बीच संबंध स्थापित करता है।

मुक्त कण के लिए, जो किसी संभावित क्षेत्र में नहीं है, श्रोडिंगर का तरंग समीकरण इस प्रकार है:

-ℏ^2 / 2m * ∂^2ψ / ∂x^2 = Eψ

जहाँ:

• ℏ = कम किया हुआ प्लैंक स्थिरांक (h / 2π)
• m = कण का द्रव्यमान
• ψ = तरंग फलन
• E = कण की कुल ऊर्जा
• ∂ = आंशिक अवकलन

यह समीकरण हमें मुक्त कण के लिए तरंग फलन का निर्धारण करने की अनुमति देता है।

उपयोग:

• कणों की गति और व्यवहार का अध्ययन करने के लिए: श्रोडिंगर का तरंग समीकरण का उपयोग इलेक्ट्रॉनों, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन जैसे सूक्ष्म कणों की गति और व्यवहार का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
• क्वांटम घटनाओं की व्याख्या करने के लिए: श्रोडिंगर का तरंग समीकरण का उपयोग क्वांटम टनलिंग, क्वांटम उतार-चढ़ाव जैसी क्वांटम घटनाओं की व्याख्या करने के लिए किया जाता है।

9. आइगन मानों और आइगन फलनों को उदाहरण सहित समझाइए

Ans.  

आइगन मान:

• एक रैखिक ऑपरेटर A के लिए, आइगन मान (λ) वे विशिष्ट मान होते हैं जिनके लिए A का आइगन वेक्टर (v) गैर-शून्य होता है, और A द्वारा v को λ से गुणा किया जाता है:

A * v = λ * v

आइगन फलन:

• एक आइगन मान (λ) के लिए संबंधित आइगन वेक्टर (v) को आइगन फलन कहा जाता है।

उदाहरण:

2x - 3 मैट्रिक्स के लिए:

• A = [2, -3]
• λ1 = 5, v1 = [1, 1]
• λ2 = -1, v2 = [3, -1]

यह दर्शाता है कि:

• A, मैट्रिक्स [1, 1] को 5 से और [3, -1] को -1 से गुणा करता है।
• [1, 1] और [3, -1], A के आइगन फलन हैं, जो क्रमशः 5 और -1 के आइगन मानों से संबंधित हैं।

10.  बॉक्स में बंद कण के ऊर्जा स्तर विविक्ति होते है। इस कथन की व्याख्या कीजिए 

Ans.   

जब एक कण को एक निश्चित आकार के बॉक्स में बंद कर दिया जाता है, तो उसकी ऊर्जा स्तर विविक्त (discrete) हो जाते हैं। इसका मतलब है कि कण केवल कुछ निश्चित ऊर्जा स्तरों पर मौजूद हो सकता है, किसी भी मनमाने मूल्य पर नहीं।

कारण:

यह क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों के कारण होता है, जो सूक्ष्म कणों के व्यवहार को नियंत्रित करते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार, ऊर्जा क्वांटा (quanta) में पैक होती है, जो ऊर्जा के छोटे, असतत पैकेट होते हैं।

बॉक्स में बंद कण के लिए:

• कण केवल बॉक्स की दीवारों से टकरा सकता है, जिसके कारण उसकी गति और ऊर्जा सीमित होती है।
• क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार, कण केवल कुछ निश्चित तरंगदैर्ध्य (wavelengths) के साथ तरंगों के रूप में मौजूद हो सकता है जो बॉक्स में फिट होते हैं।
• प्रत्येक तरंगदैर्ध्य एक निश्चित ऊर्जा स्तर से जुड़ा होता है।

परिणाम:

• कण केवल कुछ निश्चित ऊर्जा स्तरों पर मौजूद हो सकता है, जो तरंगदैर्ध्य (और इसलिए क्वांटा की संख्या) द्वारा निर्धारित होते हैं।
• इन ऊर्जा स्तरों के बीच कोई ऊर्जा स्तर नहीं होता है, इसलिए ऊर्जा स्तर विविक्त होते हैं।

उदाहरण:

• इलेक्ट्रॉन जो परमाणु में ऑर्बिटल्स में मौजूद होते हैं, बॉक्स में बंद कणों का एक उदाहरण हैं।